動力學中的普法夫約束(Pfaffian constraint)是一種用以下形式描述系統的方式:
[1]
其中
是系統限制方程的個數。
非完整系統一定可以表示為普法夫約束的形式。
假設一個用以下非完整約束方程組描述的非完整系統
![{\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a9a400882673a76a68ba4c2cff7c9b3ff144de)
其中
是n個描述系統的廣義座標,而
是系統約束方程的數量,可以將每一個方程用連鎖律微分:
![{\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9d9032d62fb341c8b820d900a3cd934c34c82d)
經過置換後可以得到下式:
![{\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a793ccab17a692dabdc9bfe5143e16cac4b5bc)
單擺
考慮單擺,其重物的運動會受到擺長的約束,其重物的速度向量
隨時都會和位置向量
垂直。因為二個向量永遠正交,因此其点积恆為零。重物的位置和速度可以用以下
-
座標系統中的系統來定義:
![{\displaystyle {\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c072688d0b5eefbf475852dd5a96e493f65c7043)
簡化點積後可得:
![{\displaystyle x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e19a9801f4c06631052614279b4c17770f6a32)
將等號兩邊同乘
,結果就是約束方程的普法夫約束形式:
![{\displaystyle x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae73cd83c7839d81a84ac8739a73de90500975b)
普法夫形式很好用,若非完整約束方程存在,可以將普法夫形式積分來求解系統的非完整約束方程。此例中的積分是很明顯的:
![{\displaystyle \int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9014cb69417056980870e5d77e6dc98144f5e74)
其中C是積分常數。
也可以寫成
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=L^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2c81bda3a34a45e7f451d816d084175b957ce7)
寫成平方項只因為其必定是正數。在實際系統中,座標一定都是實數。而
就是單擺的擺長。
機器人[编辑]
机器人运动规划中的普法夫約束(Pfaffian constraint),是由k個線性無關約束的集合,而這些約束都對速度線性,也就是說
輪式機器人(wheeled robot)中滾動不滑動的條件即為普法夫約束[2]。
相關條目[编辑]