雪花有正六边形的二面体对称。
在数学中,二面体群
是正
边形的对称群,具有
个元素。某些书上则记为
。除了
的情形外,
都是非交换群。
生成元与关系[编辑]
抽象言之,首先考虑
阶循环群
。反射
是
上的自同构,而且
。定义二面体群为半直积
![{\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f8e6e2e5cd74ab6502b424e1a4d630068fbda3)
任取
的生成元
,
由
生成,其间的关系是
![{\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62791b129e7ede74dbdca68e5ba0ee4fab060bef)
的元素均可唯一地表成
,其中
,
。
几何诠释[编辑]
n=5 的情形:反射对称
n=5 的情形:旋转对称
二面体群也可以诠释为二维正交群
中由
(旋转
弧度)
(对 x 轴反射)
生成的子群。由此不难看出
是正 n 边形的对称群。
的中心在
为奇数时是
,在
为偶数时是
。
- 当
为奇数时,
同构于
与二阶循环群的直积。同构可由下式给出:
![{\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ce461f582dbaf22c14678fcc5b0d1fc5e05437)
其中
,
。
- 当
为奇数时,
的所有反射(即:二阶元素)彼此共轭;当
为偶数,则反射元在共轭作用下分解成两个轨道;从几何方面解释,二者差意在于反射面是否通过正
边形的顶点。
- 若
,则
,由此可导出
共有
个子群,其中的算术函数
与
分别代表
的正因数个数与正因数之和。
当
为奇数时,
有两个一维不可约表示:
![{\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4ab88e2fc9c498ce2d9b3307fe68abf9286428)
当
为偶数时,
有四个一维不可约表示:
![{\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c60c7a7c31320a72165605b7e7f2b2c42d4f7d1)
其余不可约表示皆为二维,共有
个,形如下式:
![{\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e952c9840785915b7d2bfa6fa9bdd56484238a24)
其中
是任一 n 次本原单位根,
过
。由
给出的表示相等价当且仅当
。